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自然数とは何ぞや?


集合αが、自然数であるとは、

αが順序数であり、任意のβ≦αは超限順序数ではないこと。



要するに、



0 = φ

1 = {0} = {φ}

2 = {0, 1} = {φ, {φ}}

3 = {0, 1, 2} = {φ, {φ}, {φ, {φ}}}



・・・と、言うのを、先日のセミナーで勉強しました。







しかし、ラムダ計算を使っても自然数を定義できます。

0 = λ f x. x

1 = λ f x. f x

2 = λ f x. f (f x)

3 = λ f x. f (f (f x))



ここで、λ x y. P(x, y) とは、関数 (x, y) ---> P(x, y) の事です。


どちらが、『根本的な』自然数の定義なのでしょうか?

どちらでもありません。互いに同型ですから。


ペアノの公理を満たすもの』というわけでもないと思います。

同値で外見が大きく異なる公理が、きっとあるはずです。


多分、私達の心の中にある、ナニモノかを指して、自然数と呼ぶのでしょう。

いえ、心の中にすら、本当は『根本的な自然数』など無いのかもしれません・・・。

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