自然数とは何ぞや?
集合αが、自然数であるとは、
αが順序数であり、任意のβ≦αは超限順序数ではないこと。
要するに、
0 = φ
1 = {0} = {φ}
2 = {0, 1} = {φ, {φ}}
3 = {0, 1, 2} = {φ, {φ}, {φ, {φ}}}
・・・と、言うのを、先日のセミナーで勉強しました。
0 = λ f x. x
1 = λ f x. f x
2 = λ f x. f (f x)
3 = λ f x. f (f (f x))
ここで、λ x y. P(x, y) とは、関数 (x, y) ---> P(x, y) の事です。
どちらが、『根本的な』自然数の定義なのでしょうか?
どちらでもありません。互いに同型ですから。
『ペアノの公理を満たすもの』というわけでもないと思います。
同値で外見が大きく異なる公理が、きっとあるはずです。
多分、私達の心の中にある、ナニモノかを指して、自然数と呼ぶのでしょう。
いえ、心の中にすら、本当は『根本的な自然数』など無いのかもしれません・・・。